CURIOSIDADE...Mais algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras

No fundo quase todas as demonstrações fundamentam-se no facto de as somas das áreas de dois quadrados pequenos  construidos nos lados menores ser igual ao quadrado  maior construido sobre a hipotenusa

Algebricamente teremos : a2+b2=c2  

Estão já publicadas 367 demonstrações deste importante teorema (NCTM em 1968). Apresentaremos algumas delas ( as mais acessíveis).

Pensa-se que este teorema foi descoberto na Babilónia entre 1900-1600 AC. Pitágoras (560-480 AC), ou algum dos seus seguidores  fizeram dele aplicação e talvez tenham feito mesmo a primeira demonstração.. Contudo a primeira demomstração que chegou até nós foi feita por Euclides (300 AC) nos seus Elementos .

 

Demostração 1

1- Começamos com 2 quadrados de lados a e b colocados lado a lado. A área total desses quadrados será  a2+b2.

2-Construimos os dois triângulos azul e vermelho de catetos a e b e hipotenusa c.

3- Efectuamos rotações de 90º desses triângulos conforme a figura indica.

4- Obtemos um quadrado de lada c. Logo: a2+b2=c2  


 

Demonstração 2

1- Partimos de 4 triângulos rectângulos iguais, cada um deles de área ba/2

2- Fazendo a translação dos mesmos conforme a fig.

3- Obtém-se um quadrado de lado c

4- Então c2 - (a-b)2 = 4ba/2 c2 = a2 + b2

 


 

Demonstração 3

 
Esta demonstração é no fundo uma aproximação às anteriores. Na fig. temos um quadrado de lado (a+b). Logo teremos : (a+b)2=4*ab/2+c2  simplificando virá  a2 + b2. =c2

 


 

Demonstração 4

Esta demonstração contrariamente às anteriores não recorre à area de um quadrado mas sim a de um trapézio (a+b)/2 * (a+b).. De facto a soma das áreas dos 3 triângulos da figura é dada por : ab/2 + ab/2 + c*c/2.  Igualando as duas expressões e simplificando obtém-se  a2+b2=c2.

O seu autor é  J.A. Garfield em 1876 

 


 

Demonstração 5

 

Partindo do triângulo ABC faremos uma construção auxiliar traçando a altura CD. Os triângulos  ABC, BDA e ADC  são semelhantes e verifica-se :
       Escrevendo de outra maneira :

 


Demonstração 6

Traçar um círculo com raio c e um triângulo de lados a e b .Obteveram-se assim dois triângulos semelhantes GFK e FKH. então: a/(c+b) = (c-b)/a  logo a2 = (c+b)(c-b) = c2 - b2.

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